Récurrence pour montrer une monotonie

Exercice 1

On considère la suite `(u_n)`  définie par `u_0=150`  et, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1}=0,7u_n+23\) .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1} \leqslant u_n\) .
2. Que peut-on en déduire pour la suite `(u_n)`  ?

Exercice 2

On considère la suite `(u_n)`  définie par \(u_0=4\,000\)  et, pour tout entier naturel `n` , `u_{n+1}=1,04u_n-156` .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n} \leqslant u_{n+1}\) . Que peut-on en déduire pour la suite `(u_n)`  ?
2. On définit une suite `(v_n)`  par une relation de récurrence identique à celle de  `(u_n)`  mais en prenant pour premier terme \(3\,000\) .
On a donc \(v_0=3\,000\)  et, pour tout entier naturel `n` , `v_{n+1}=1,04v_n-156` .
      a. Conjecturer la monotonie de la suite `(v_n)`  et prouver cette conjecture par récurrence.
      b. Quelle remarque peut-on faire ?